Cálculo III*

Conceitos iniciais

Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação que envolve uma função e suas derivadas, ou seja,

\[f(x,y,y',y'',\ldots,y^{(n)})=0\]

onde:

Equações Diferenciais de primeira Ordem

Uma EDO de primeira ordem pode ser escrita em uma forma Normal ou Diferencial.

A EDO \(y'=\frac{x^2}{y}\) está escrita na forma normal mas pode ser escrita usando os diferenciais, ou seja,

\[y'=\frac{x^{2}}{y}\Leftrightarrow\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}\Leftrightarrow ydy=x^{2}dx\]

e pode ser resolvida através da separação de variáveis, logo:

\[\begin{aligned} ydy & = & x^{2}dx\\ \int ydy & = & \int x^{2}dx\\ \frac{y^{1+1}}{1+1}+c_{1} & = & \frac{x^{2+1}}{2+1}+c_{2}\\ y^{2} & = & \frac{2}{3}x^{3}+c\end{aligned}\]

O leitor pode verificar que as constantes \(c_1\,\,\mathrm{e}c_2\) tornaram-se apenas \(c\). De fato a constante \(c\) seria escrita pela relação \(c=2\cdot (c_2-c_1)\), entretanto, é suficiente representar com apenas uma única constante.

Problema de Valor Inicial

Uma EDO de primeira ordem com valor inicial pode ser escrita da seguinte forma:

\[\begin{cases} y'=\frac{x^{2}}{y}\\ y(0)=6 \end{cases}\]

Para resolver esse PVI é necessário resolver a EDO e substituir o valor inicial na solução e determinar o valor da constante \(c\). A EDO acima foi resolvida no início deste capítulo, então:

\[\begin{aligned} y^{2} & = & \frac{2}{3}x^{3}+c\\ y^{2}(x) & = & \frac{2}{3}x^{3}+c\end{aligned}\]

substituindo \(y(0)=6\) na solução, tem-se:

\[\begin{aligned} y^{2}(0) & = & \frac{2}{3}\cdot0^{3}+c\\ 6^{2} & = & 0+c\\ c & = & 36\end{aligned}\]

e substituindo o valor calculado da constante na solução obtida da EDO tem a solução do PVI:

\[\begin{aligned} y^{2} & = & \frac{2}{3}x^{3}+36\end{aligned}\]

Calcule o PVI abaixo:

\[\begin{cases} \frac{dy}{dx}=4xy\\ y(0)=10 \end{cases}\]

Inicialmente, deve-se resolver a EDO:

\[\begin{aligned} \frac{dy}{dx} & = & 4xy\\ \frac{1}{y}dy & = & 4xdx\\ \int\frac{1}{y}dy & = & \int4xdx\\ \ln y & = & 4\cdot\frac{x^{1+1}}{1+1}+c_{1}\\ \ln y & = & 4\cdot\frac{x^{2}}{2}+c_{1}\\ \ln y & = & 2x^{2}+c_{1}\\ \mathrm{\mathrm{e}}^{\ln y} & = & \mathrm{\mathrm{e}}^{2x^{2}+c_{1}}\\ y & = & \mathrm{e}^{c_{1}}\cdot\mathrm{e}^{2x^{2}}\\ y & = & c\mathrm{e}^{2x^{2}}\end{aligned}\]

substituindo \(y(0)=10\) na solução encontrada, tem-se:

\[\begin{aligned} y(x) & = & c\mathrm{e}^{2x^{2}}\\ y(0) & = & c\mathrm{e}^{2\cdot0^{2}}\\ 10 & = & c\cdot\mathrm{e}^{0}\\ 10 & = & c\cdot1\\ c & = & 10\end{aligned}\]

Logo, a solução do PVI é dada por

\[\begin{aligned} y(x) & = & 10\cdot\mathrm{e}^{2x^{2}}\end{aligned}\]

ou

\[\begin{aligned} y(x) & = & 10\cdot\exp(2x^{2})\end{aligned}\]

Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de Segunda Ordem

Uma EDO linear de segunda ordem pode ser escrita como:

\[a(x)y''+b(x)y'+c(x)y=d(x)\]

Onde os coeficientes \(a(x)\), \(b(x)\), \(c(x)\) e \(d(x)\) são funções apenas da variável \(x\).

Neste material será visto apenas as EDO’s lineares de segunda ordem com os coeficientes (\(a, b,\,\, \mathrm{e}\,\,c\)) constantes, assim:

\[ay''+by'+cy=d(x)\]

Para resolver esse tipo de EDO é possível seguir uma metodologia:

  1. Calcular a solução da EDO homogênea (\(y_h(x)\)): \[ay''+by'+cy=0\]

  2. Através da equação característica determinar as raízes da equação do segundo grau associada: \[ay''+by'+cy=0\] \[a\cdot r^{2}+b\cdot r+c=0\]

    1. Se \(\Delta > 0\): Duas raízes reais e distintas (\(r_1\,\,\,\mathrm{e}\,\,\,r_2\)). \[y(x)=c_{1}\mathrm{e}^{r_{1}x}+c_{2}\mathrm{e}^{r_{2}x}\]

    2. Se \(\Delta = 0\): Duas raízes reais iguais (\(r_1=r_2=r\)) \[y(x)=c_{1}\mathrm{e}^{rx}+c_{2}x\mathrm{e}^{rx}\]

    3. Se \(\Delta < 0\): Duas raízes complexas (\(r_1=\alpha+\beta \cdot i\,\,\,\mathrm{e}\,\,\, r_2=\alpha-\beta \cdot i\)) \[y(x)=c_{1}\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot\cos(\beta x)+c_{2}\mathrm{e}^{\alpha x}\cdot\sin(\beta x)\] \[\alpha=\frac{-b}{2a}\quad\mathrm{e\quad}\beta=\frac{\sqrt{|\Delta|}\cdot i}{2a}\]

  3. Determinar a solução particular (\(y_p(x)\));

  4. Determinar a solução geral através de: \[y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)\]

Calcule a solução da EDO \(y''-5y'+6y=12\).

Etapa 1: EDO homogênea:

\[y''-5y'+6y=0\]

Equação característica: \[r^{2}-5r+6=0\]

Solução da equação do segundo grau:

\[\begin{aligned} r & = & \frac{-(-5)\pm\sqrt{(-5)^{2}-4\cdot1\cdot6}}{2\cdot1}\\ & = & \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}\\ & = & \frac{5\pm\sqrt{1}}{2}\\ & = & \frac{5\pm1}{2}\Rightarrow\\ r_{1} & = & \frac{4}{2}=2\\ r_{2} & = & \frac{6}{2}=3\end{aligned}\]

Assim, \(y_h(x)\) é: \[y_{h}(x)=c_{1}\mathrm{e}^{2x}+c_{2}\mathrm{e}^{3x}\]

Deve-se determinar a solução particular (\(y_p(x)\)). Da EDO do enunciado é possível verificar que \(d(x)=12\), ou seja, uma constante. A tentativa nesse caso é supor que a solução particular também seja igual a constante qualquer, assim: \[y_{p}(x)=A\]

Deve-se calcular \(y_p^{'}\) e \(y_p^{''}\) e substituir na EDO do enunciado, assim \[\begin{aligned} y_{p} & = & A\\ y_{p}^{'} & = & 0\\ y_{p}^{''} & = & 0\\ & \Downarrow\\ y''-5y'+6y & = & 12\\ 0-5\cdot0+6\cdot A & = & 12\\ 6A & = & 12\\ A & = & 2\end{aligned}\]

Assim, a solução geral será: \[\begin{aligned} y(x) & = & y_{h}(x)+y_{p}(x)\\ y(x) & = & \overbrace{c_{1}\mathrm{e}^{2x}+c_{2}\mathrm{e}^{3x}}^{y_{h}(x)}+\underbrace{2}_{y_{p}(x)}\end{aligned}\]

Calcule a solução da EDO \(y''-4y'+4y=5x\)

Etapa 1: EDO homogênea:

\[y''-4y'+4y=0\]

Equação característica: \[r^{2}-4r+4=0\]

Solução da equação do segundo grau:

\[\begin{aligned} r & = & \frac{-(-4)\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot4}}{2\cdot1}\\ & = & \frac{4\pm\sqrt{16-16}}{2}\\ & = & \frac{4\pm\sqrt{0}}{2}\\ & = & \frac{4\pm0}{2}\Rightarrow\\ r & = & \frac{4}{2}=2\end{aligned}\]

Assim, \(y_h(x)\) é: \[y_{h}(x)=c_{1}\mathrm{e}^{2x}+c_{2}x\mathrm{e}^{2x}\]

Deve-se determinar a solução particular (\(y_p(x)\)). Da EDO do enunciado é possível verificar que \(d(x)=5x\), ou seja, um polinômio de grau 1. A tentativa nesse caso é supor que a solução particular também seja igual a um polinômio, qualquer, de grau 1, assim: \[y_{p}(x)=Ax+B\]

Deve-se calcular \(y_p^{'}\) e \(y_p^{''}\) e substituir na EDO do enunciado, assim \[\begin{aligned} y_{p} & = & Ax+B\\ y_{p}^{'} & = & A\\ y_{p}^{''} & = & 0\\ & \Downarrow\\ y''-4y'+4y & = & 5x\\ 0-4\cdot A+4\cdot(Ax+B) & = & 5x\\ -4A+4Ax+4B & = & 5x\\ 4Ax+(-4A+4B) & = & 5x+0\\ & \Downarrow\end{aligned}\]

\[\begin{cases} 4A & =5\\ -4A+4B & =0 \end{cases}\Rightarrow A=\frac{5}{4}\quad B=\frac{5}{4}\]

Assim, a solução geral será: \[\begin{aligned} y(x) & = & y_{h}(x)+y_{p}(x)\\ y(x) & = & \overbrace{c_{1}\mathrm{e}^{2x}+c_{2}x\mathrm{e}^{2x}}^{y_{h}(x)}+\underbrace{\frac{5}{4}x+\frac{5}{4}}_{y_{p}(x)}\end{aligned}\]

Calcule a solução da EDO \(y''-6y'+13y=3x^2\)

Etapa 1: EDO homogênea:

\[y''-6y'+13y=0\]

Equação característica: \[r^{2}-6r+13=0\]

Solução da equação do segundo grau:

\[\begin{aligned} r & = & \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot13}}{2\cdot1}\\ & = & \frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}\\ & = & \frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}\\ & = & \frac{6\pm4i}{2}\Rightarrow\\ r & = & \frac{6}{2}\pm\frac{4i}{2}=3\pm2i\Rightarrow\alpha=3\quad\beta=2\end{aligned}\]

Assim, \(y_h(x)\) é: \[y_{h}(x)=c_{1}\mathrm{e}^{3x}\cdot\cos(2x)+c_{2}\mathrm{e}^{3x}\cdot\sin(2x)\]

Deve-se determinar a solução particular (\(y_p(x)\)). Da EDO do enunciado é possível verificar que \(d(x)=3x^2\), ou seja, um polinômio de grau 2. A tentativa nesse caso é supor que a solução particular seja do mesmo tipo, assim: \[y_{p}(x)=Ax^{2}+Bx+C\]

Deve-se calcular \(y_p^{'}\) e \(y_p^{''}\) e substituir na EDO do enunciado, assim \[\begin{aligned} y_{p} & = & Ax^{2}+Bx+C\\ y_{p}^{'} & = & 2Ax+B\\ y_{p}^{''} & = & 2A\\ & \Downarrow\\ y''-6y'+13y & = & 3x^{2}\\ 2A-6\cdot(2Ax+B)+13\cdot(Ax^{2}+Bx+C) & = & 3x^{2}\\ 13Ax^{2}+(-12A+13B)\cdot x+(2A-6B+13C) & = & 3x^{2}+0\cdot x+0\\ & \Downarrow\end{aligned}\]

\[\begin{cases} 13A & =3\\ -12A+13B & =0\\ 2A-6B+13C & =0 \end{cases}\Rightarrow A=\frac{3}{13}\quad B=\frac{36}{169}\quad C=\frac{138}{2197}\]

Assim, a solução geral será: \[\begin{aligned} y(x) & = & y_{h}(x)+y_{p}(x)\\ y(x) & = & \overbrace{c_{1}\mathrm{e}^{3x}\cdot\cos(2x)+c_{2}\mathrm{e}^{3x}\cdot\sin(2x)}^{y_{h}(x)}+\underbrace{\frac{3}{13}x^{2}+\frac{36}{169}x+\frac{138}{2197}}_{y_{p}(x)}\end{aligned}\]

Aplicações

Uma aplicação tradicional das EDO’s de segunda ordem é em circuitos elétricos do tipo RLC (Resistor - Indutor - Capacitor).

Circuito RLC

[fig:rlc]

De acordo com a Figura [fig:rlc]:

Quando o circuito estiver fechado tem-se, pelas leis de Kirchoff:

\[\begin{aligned} V_{L}+V_{R}+V_{C} & = & E(t)\\ L\frac{dI}{dt}+R\cdot I(t)+\frac{1}{C}\int_{0}^{t}I(w)dw & = & E(t)\end{aligned}\]

Supondo que \(E(t)\) seja uma função exclusiva da variável \(t\), derivando-a, tem-se: \[\begin{aligned} LI''(t)+R\cdot I'(t)+\frac{1}{C}I(t) & = & E'(t)\end{aligned}\]

Que é uma EDO linear de segunda ordem e pode ser resolvida de acordo com os exemplos anteriores.

Calcule a função da corrente elétrica num circuito RLC sabendo que a d.d.p. do circuito obedece a relação \(E(t)=2t\), o resistor tem uma resistência de \(11 \Omega\), o capacitor tem uma capacitância de \(0,1 \mathrm{F}\) e o indutor tem uma indutância de \(1 \mathrm{H}\). Sabe-se ainda que \(I(0)=3,7\mathrm{A}\) e \(I'(0)=1\mathrm{A/s}\).

Este é um PVI. Inicialmente, deve-se montar a EDO do circuito. \[\begin{aligned} 1\cdot I''(t)+11\cdot I'(t)+\frac{1}{0,1}I(t) & = & \frac{d(2t)}{dt}\\ I''+11I'+10I & = & 2\end{aligned}\]

Solução da EDO homogênea \[\begin{aligned} I''+11I'+10I & = & 0\end{aligned}\]

através da equação característica \[\begin{aligned} r^{2}+11r+10 & = & 0\\ r & = & \frac{-11\pm\sqrt{11^{2}-4\cdot1\cdot10}}{2\cdot1}\\ & = & \frac{-11\pm\sqrt{121-40}}{2}\\ & = & \frac{-11\pm\sqrt{81}}{2}\\ & = & \frac{-11\pm9}{2}\Rightarrow\\ r_{1} & = & \frac{-11+9}{2}=\frac{-2}{2}=-1\\ r_{2} & = & \frac{-11-9}{2}=\frac{-20}{2}=-10\end{aligned}\]

desse modo a solução homogênea será \[\begin{aligned} I_{h}(t) & = & c_{1}\mathrm{e}^{-t}+c_{2}\mathrm{e}^{-10t}\end{aligned}\]

A solução particular deve ser algo do tipo \(I_p(t)=A\) pois \(E'(t)=2\), assim \[\begin{aligned} I_{p} & = & A\\ I_{p}^{'} & = & 0\\ I_{p}^{''} & = & 0\\ & \Downarrow\\ I''+11I'+10I & = & 2\\ 0+11\cdot0+10\cdot A & = & 2\\ 10A & = & 2\\ A & = & 0,2\end{aligned}\]

Então a solução geral será \[\begin{aligned} I(t) & = & c_{1}\mathrm{e}^{-t}+c_{2}\mathrm{e}^{-10t}+0,2\end{aligned}\]

Sabendo que \(I(0)=3,7\mathrm{A}\), substituindo na solução geral \[\begin{aligned} I(t) & = & c_{1}\mathrm{e}^{-t}+c_{2}\mathrm{e}^{-10t}+0,2\\ I(0) & = & c_{1}\mathrm{e}^{-0}+c_{2}\mathrm{e}^{-10\cdot0}+0,2\\ 3,7 & = & c_{1}+c_{2}+0,2\\ c_{1}+c_{2} & = & 3,5\end{aligned}\]

A outra condição inicial envolve a derivada da função \(I(t)\) pois \(I'(0)=1\mathrm{A/s}\). A derivada da solução geral fica \[\begin{aligned} I(t) & = & c_{1}\mathrm{e}^{-t}+c_{2}\mathrm{e}^{-10t}+0,2\Rightarrow\\ I'(t) & = & -c_{1}\mathrm{e}^{-t}-10c_{2}\mathrm{e}^{-10t}\\ I'(0) & = & -c_{1}\mathrm{e}^{-0}-10c_{2}\mathrm{e}^{-10\cdot0}\\ 1 & = & -c_{1}-10c_{2}\\ -c_{1}-10c_{2} & = & 1\end{aligned}\]

Das duas últimas relações é possível montar um sistema de equações lineares para calcular os coeficientes \(c_1\) e \(c_2\). \[\begin{cases} c_{1}+c_{2} & =3,5\\ -c_{1}-10c_{2} & =1 \end{cases}\Rightarrow c_{1}=4\quad c_{2}=-0,5\]

Assim, a solução do PVI será \[\begin{aligned} I(t) & = & 4\mathrm{e}^{-t}-0,5\mathrm{e}^{-10t}+0,2\end{aligned}\]

Exercícios

Calcule as soluções das EDO’s de primeira ordem abaixo

  1. \(y'=3x\)

  2. \(4y'=x^{2}\)

  3. \(y'=2xy\)

  4. \(y'=4x+6\)

Calcule os PVI’s abaixo:

  1. \(\begin{cases} y'=3x\\ y(0)=4 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} y'=x^{2}\\ y(0)=-1 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} y'=3x+2\\ y(0)=1 \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} y'=3xy\\ y(0)=2 \end{cases}\)

Calcule as EDO’s de segunda ordem abaixo:

  1. \(y''+y'-2y=3\)

  2. \(y''-12y'+36y=4x\)

  3. \(y''-12y'+20y=x^{2}\)

  4. \(2y''+12y'+26y=7x\)

Calcule os PVI’s abaixo:

  1. \(\begin{cases} y''+y'-2y=3\\ y(0)=4\\ y'(0)=2 \end{cases}\)

  2. \(\begin{cases} y''-12y'+36y=0\\ y(0)=1\\ y'(0)=3 \end{cases}\)

  3. \(\begin{cases} y''-12y'+20y=6x\\ y(0)=0\\ y'(0)=2 \end{cases}\)

  4. \(\begin{cases} 2y''+12y'+26y=12\\ y(0)=-1\\ y'(0)=3 \end{cases}\)

Respostas dos exercícios

1.1. \(y(x)=\frac{3}{2}x^{2}+c\)

1.2. \(y(x)=\frac{1}{12}x^{3}+c\)

1.3. \(y(x)=c_{1}\mathrm{e^{x^{2}}}\)

1.4. \(y(x)=2x^{2}+6x+c\)

2.1. \(y(x)=\frac{3}{2}x^{2}+4\)

2.2. \(y(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-3)\)

2.3. \(y(x)=\frac{3}{2}x^{2}+2x+1\)

2.4. \(y(x)=2\exp(\frac{3x^{2}}{2})\)

3.1. \(y(x)=c_{1}\exp(-2x)+c_{2}\exp(x)-\frac{3}{2}\)

3.2. \(y(x)=c_{1}\exp(6x)+c_{2}x\exp(6x)+\frac{x}{9}+\frac{1}{27}\)

3.3. \(y(x)=c_{1}\exp(2x)+c_{2}\exp(10x)+\frac{x^{2}}{20}+\frac{3x}{50}+\frac{31}{1000}\)

3.4. \(y(x)=c_{1}\exp(-3x)\sin(2x)+c_{2}\exp(-3x)\cos(2x)+\frac{7x}{21}-\frac{21}{169}\)

4.1. \(y(x)=\frac{1}{6}\cdot(7\exp(-2x)+26\exp(x)-9)\)

4.2. \(y(x)=\exp(6x)\cdot(1-3x)\)

4.3. \(y(x)=\frac{1}{400}\cdot(120x-175\exp(2x)+103\exp(10x)+72)\)

4.4. \(y(x)=\frac{1}{13}\exp(-3x)\cdot(6\exp(3x)-9\sin(2x)-19\cos(2x))\)


  1. Aqui vale ressaltar que até as derivadas de ordem 2 é possível representar as famosas linhas, ou seja, se \(n=1\) tem-se \(y'\), se \(n=2\) tem-se \(y''\). A partir de \(n=3\) representa-se por \(y^{(3)}\). Os parênteses são necessários para diferenciar da exponenciação.↩︎

  2. Dúvidas, sugestões, críticas, contate-me: effumachi_at_gmail.com↩︎


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